03 · 深入｜离散稳定性与延迟：增益为什么不能一直加

先推一个真正能看懂的稳定性条件

考虑固定目标、无延迟、未饱和的单轴模型：m v̇+d v=F，位置外环 v_d=k_x(x_d−x)，速度 PI 为 F=k_v(v_d−v)+k_i∫(v_d−v)dt。消去中间变量，可得到闭环特征多项式：

$$\text{m}{\text{s}}^{\text{3}}\text{+ (d+}{\text{k}}_{\text{v}}\text{)}{\text{s}}^{\text{2}}\text{+ (}{\text{k}}_{\text{v}}{\text{k}}_{\text{x}}\text{+}{\text{k}}_{\text{i}}\text{)s +}{\text{k}}_{\text{i}}{\text{k}}_{\text{x}}\text{= 0}$$

参数都为正还不够，三阶 Routh–Hurwitz 还要求：

$$\text{(d+k\_v)(k\_vk\_x+k\_i) > m k\_i k\_x}$$

这解释了为什么内外环增益不应各自独立“越大越好”：位置环把速度参考推得过快，会与速度环积分动态耦合。上述条件是这个线性模型的结论；加入饱和后，应另外分析饱和与积分状态，而不是沿用线性极点解释所有现象。

程序运行在离散时间

标量闭环 ẋ=−k x 用前向欧拉实现时为 x[k+1]=(1−kT)x[k]。稳定要求 |1−kT|<1，即 0<kT<2。连续系统对所有 k>0 都衰减，离散程序却会在步长过大时发散。对一般线性系统，检查离散闭环矩阵 A_d−B_dK 的全部特征值是否位于单位圆内。

$$\text{A\_d = exp(AT)， B\_d = ∫₀ᵀ exp(Aτ)B dτ}$$

这组零阶保持离散化适合输入在采样区间保持不变的模型；与简单欧拉相比，它更准确描述连续对象被数字控制器驱动的关系。积分器仍需使用真实 dt，不能把“每轮加一次误差”当作不受调度影响的积分。

延迟是相位损失

纯延迟 e^(−sτ) 在角频率 ω 处带来 −ωτ 的相位。τ=0.2 s、ω=5 rad/s 时损失约 1 rad，也就是 57.3°。因此，视觉检测帧率很高也不代表闭环很快：如果队列让图像晚了 200 ms，控制器仍在纠正过去的误差。

实验与进阶

将同一个连续控制器分别以 T=0.01、0.1、0.5 s 运行，再加入一拍和多拍延迟。用增广状态保存过去的控制输入，构造延迟系统矩阵，比较极点与时域响应。下一步学习频率响应、相位裕度和灵敏度函数：S=(I+PK)⁻¹ 描述扰动抑制，T=PK(I+PK)⁻¹ 描述部分测量噪声传播。提高某个频段的抗扰能力，常会让另一个频段更敏感；鲁棒控制首先是一种权衡视角。