轮式机器人：滚动约束、驱动力和工作点线性化

1. 为什么会发速度指令，还需要动力学

导航规划器常输出 $v_c$（m/s）和 $\omega_c$（rad/s）。这些是期望速度，不是地面实际施加的力。电机有电流限制，轮胎有摩擦极限，车身有惯性；坡度、地毯和载荷会改变响应。

因此要分清三层：

• 运动学层：假设 $v,\omega$ 已经实现，计算位姿变化。
• 速度控制层：用轮速反馈和驱动力矩让实际速度跟踪命令。
• 执行器层：电压/电流/驱动器内部环把命令变成电机力矩。

若厂商底盘已闭合速度环，可以先辨识“速度命令到实际速度”的闭环模型；直接控制裸电机时，不能假设这一层已经存在。

2. 无侧滑约束不是“车永远不能横向移动”

取两驱动轮轴中点为车体参考点，位姿 $q=[x,y,\psi]^T$。世界平面坐标为 $x,y$，航向 $\psi$ 逆时针为正。车体横向速度为

理想无侧滑轮约束 $v_y^b=0$ 可写成 $A_c(q)\dot q=0$，其中 $A_c=[-\sin\psi,\cos\psi,0]$。允许的速度可以参数化为

$S$ 的第一列是沿车头平移，第二列是原地转动，且 $A_cS=0$。通过先转弯再前进，车仍可到达世界坐标中的横向位置；限制的是瞬时速度方向，不是所有未来可达位置。

3. 约束力如何从方程中消掉

在含约束的坐标中，动力学一般写成

$\lambda$ 是维持约束的接触反力。它未知，但理想约束不对允许速度做功，因为 $\dot q^TA_c^T\lambda=0$。

由 $\dot q=S\xi$ 求导：$\ddot q=S\dot\xi+\dot S\xi$。代回并左乘 $S^T$，利用 $S^TA_c^T=0$，得到

这个过程叫约束投影。它解释了为什么不能把轮式机器人当作能任意施加世界 $x/y$ 两方向力的滑块。实际打滑时约束不再成立，需要轮胎力或侧滑模型，而不是继续把同一约束当精确事实。

4. 差速车的驱动力和转向力矩

设轮半径 $r_w$（m），左右轮距为 $2b$（m），此处 $b$ 是半轮距；运动学课用 $b$ 表示完整轮距，转换时应将其除以二，轮端力矩为 $\tau_R,\tau_L$（N·m），不考虑轮惯性时轮地纵向力近似 $F_i=\tau_i/r_w$。因此

左式单位 N，右式 N·m。合力使车前进，差动力矩使车转向。倒过来分配：

同时请求大加速和大转弯可能让一侧力矩饱和。 单独限制 $F$ 和 $N_z$ 并不等于限制每个电机，应在轮端约束里检查可行性。

把轮子转动惯量也算进去

无滑动滚动给出 $\dot\phi_R=(v+b\omega)/r_w$、$\dot\phi_L=(v-b\omega)/r_w$。设每个轮端等效转动惯量为 $J_w$，已包含需要计入的电机反射惯量；车体质量 $m$ 包含轮子平动质量，车体总偏航惯量为 $I_z$，但未重复包含轮轴自转能。

总动能为

展开平方，交叉项相消：

所以轮惯性表现为等效质量和等效偏航惯量。若质心位于轮轴中点、平面运动且忽略额外耦合，则可用

$m_e=m+2J_w/r_w^2$，$I_e=I_z+2J_wb^2/r_w^2$；$d_v,d_\omega$ 是此处定义为阻碍正方向运动的未知负载项，符号与“外力加在右侧”的约定不同，应始终在接口写清楚。

加入轮惯性后的力必须重新解释。 此时 $F=(\tau_R+\tau_L)/r_w$ 与 $N_z=b(\tau_R-\tau_L)/r_w$ 是按滚动约束折算的广义驱动力/力矩，不再直接等于真实接触力的合力/合矩。简化轮轴方程为 $\tau_i=r_wF_{\mathrm{contact},i}+J_w\ddot\phi_i$，所以 $F_{\mathrm{contact},i}=(\tau_i-J_w\ddot\phi_i)/r_w$。加速轮子本身也消耗一部分电机力矩；本课数例广义力为 $11$ N，而实际对质量 $20$ kg 产生 $0.5$ m/s² 的纵向接触合力为 $10$ N。

5. 为什么静止点的线性化看起来不能横移

理想运动学是 $\dot x=v\cos\psi$、$\dot y=v\sin\psi$、$\dot\psi=\omega$。在静止、$\psi_0=0$ 附近一阶线性化：

横向输入通道不见了。原因是横移要通过“先改变姿态，再前进”的组合效应，它在静止点一阶模型中属于高阶效应。线性化不可控，不等于原非线性机器人不能到达该位置。 但这确实说明不能给这个静止线性模型直接套一个三轴位置 LQR，就期待像全向车一样工作。

如果参考车以 $v_0\ne0$ 沿 $x$ 轴行驶，围绕参考轨迹有

此时转向会通过航向误差产生横向运动。状态矩阵随参考速度变化，适合轨迹线性化的时变反馈或 MPC。停车定位通常用适合非完整约束的非线性/时变策略与阶段切换，不应假装它具有三个独立瞬时输入。

6. 从动力学设计速度内环

对纵向速度轴，目标速度 $v_d(t)$ 给出误差 $e_v=v-v_d$。若模型与负载已知，取

$k_v$ 为 N·s/m。理想情况下代入得到 $m_e\dot e_v=-k_ve_v$，误差指数衰减。这就是“加速度前馈＋阻力补偿＋速度反馈”的物理推导，而不是随机拼接三个项。

未知恒定负载可以用积分或扰动观测器处理。加入 $\dot z=e_v$、$F=\hat m_e\dot v_d+\hat b_vv-k_ve_v-k_iz$，理想特征方程为 $m_es^2+k_vs+k_i=0$。若电机饱和，仍不断积分会产生 windup；应根据实际可实现力与请求力的差做抗饱和，而不是只限制打印出来的目标值。

轮胎极限比控制器公式优先

静摩擦近似要求每个轮的接触切向力满足 $|F_{\mathrm{contact},i}|\le\mu N_i$。$\mu$ 为摩擦系数，$N_i$ 为法向力。若同时存在纵横向接触力，约束应作用在切向合力上，而不是给两个方向各自完整的摩擦额度。急加速、载荷转移、坡道会改变该边界。超过它时编码器轮速可能变化很快，而车体并未对应运动，融合系统也不能把轮速当作无偏地速。

7. 参数辨识与建模取舍

先用低风险试验确认电机方向、轮径、轮距，再拟合速度响应。若发恒定力后速度近似一阶，则 $m_e\dot v+b_vv=F$ 的时间常数为 $T_v=m_e/b_v$，静态增益为 $1/b_v$。仅给定归一化命令而未标定推力时，观测到的是组合增益，不能分别确定绝对质量和电机力矩系数。

差速底盘若是四轮滑移转向，转弯依赖轮胎侧滑和地面摩擦，理想两轮无侧滑模型只适合作粗近似。高速车辆还需侧向轮胎力、侧偏角、横摆动力学；低速自行车几何模型不应无限外推。建模复杂度应由任务速度、精度和可测量参数决定。

8. C++ 练习：从期望加速度分配轮端力矩

设 $r_w=0.1$ m、$b=0.25$ m、$m=20$ kg、$I_z=1$ kg·m²、每轮 $J_w=0.01$ kg·m²，无阻力。要实现 $\dot v=0.5$ m/s²、$\dot\omega=0.4$ rad/s²，需要左右多少力矩？再代回验证。

#include <array>
#include <cmath>
#include <cassert>
std::array<double,2> allocate(double F,double Nz,double r,double b) {
    assert(r>0 && b>0);
    return {0.5*r*(F+Nz/b),0.5*r*(F-Nz/b)}; // right, left
}
int main() {
    const double r=0.1,b=0.25,Jw=0.01;
    const double me=20+2*Jw/(r*r), Ie=1+2*Jw*b*b/(r*r);
    auto t=allocate(me*0.5,Ie*0.4,r,b);
    assert(std::abs(t[0]-0.64)<1e-12 && std::abs(t[1]-0.46)<1e-12);
    assert(std::abs((t[0]+t[1])/r/me-0.5)<1e-12);
    assert(std::abs(b*(t[0]-t[1])/r/Ie-0.4)<1e-12);
    auto turn=allocate(0,2,r,b);
    assert(std::abs(turn[0]+turn[1])<1e-12);
}

来源与迁移

约束几何与不同底盘输入集合可对照 Modern Robotics 非完整轮式机器人模型。本文等效轮惯性、输入分配与速度控制数例为独立推导；实际设备必须把轮端力矩、电机端力矩、归一化命令分开标定。水下机器人没有轮地无侧滑约束，但同样需要把广义力分配到受限执行器，下一课继续这条线。