00.2｜从每秒变化开始：导数、积分与一拍预测

导数不是神秘运算，而是“此刻变化得多快”

本课使用一维运动，暂不考虑坐标轴旋转。$t$ 是时间（秒），$p(t)$ 是位置（米），括号表示位置随时间变化。两次测量之间的平均速度是

$$\bar v=\frac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}.$$

若位置由两米变到三米，用时半秒，平均速度就是每秒两米。让观察时间间隔越来越小，得到瞬时速度：

$$v(t)=\frac{dp}{dt}=\dot p(t) =\lim_{\Delta t\to0}\frac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}.$$

$dp/dt$ 与 $\dot p$ 是同一件事的两种写法。上面的点不是相乘。若 $p(t)=c t^2$，$c=1\ \mathrm{m/s^2}$，展开平方有

$$\frac{c(t+\Delta t)^2-ct^2}{\Delta t} =2ct+c\Delta t\longrightarrow 2ct.$$

因此 $v(t)=2ct$，在 $t=3\ \mathrm s$ 时为 $6\ \mathrm{m/s}$。再对速度求导得到加速度 $a=\dot v=2c=2\ \mathrm{m/s^2}$。每求一次时间导数，单位多除一个秒。

积分反过来，把许多小段变化累积起来

在很短时间 $\Delta t$ 内，可用速度乘时间近似位移。把小段相加，并让每段越来越短，就得到积分：

$$p(t_1)-p(t_0)=\int_{t_0}^{t_1}v(t)\,dt.$$

$t_0,t_1$ 是起止时刻，$dt$ 表示被累加的微小时间。积分不是“求平均”；它把速度曲线下的有符号面积变成位移。速度始终为 $2\ \mathrm{m/s}$、持续三秒，位移六米。若速度从零匀增到每秒六米，历时三秒，面积是三角形，位移只有九米而非十八米。

积分需要初始值。知道速度为零，只能知道位置不变，不能知道停在何处。因此动力学必须同时给出方程和初始状态。

微分方程：不知道轨迹，但知道轨迹怎么变化

质量 $m$、推力 $F$、线性阻尼系数 $d$ 的一维模型是

$$m\dot v=F-dv, \qquad \dot v=\frac{F-dv}{m}, \qquad \dot p=v.$$

$m$ 单位 kg，$F$ 单位 N，$d$ 单位 $\mathrm{N\,s/m}$，所以 $dv$ 是阻力大小而不是微分符号；这里字母 $d$ 是系数。未知的是整条函数 $v(t)$，不是一个固定数字，因此称为微分方程。它告诉我们：先看当前速度决定阻力，再由净力算加速度，再积累成下一时刻的速度。

不必先学解析解也能做离线预测。令 $k$ 为采样序号，$\Delta t$ 为固定步长，$v_k,p_k,F_k$ 为第 $k$ 拍的速度、位置、推力。前向欧拉法把这一拍的变化率当成一小段内不变：

$$a_k=\frac{F_k-dv_k}{m},\qquad v_{k+1}=v_k+a_k\Delta t,\qquad p_{k+1}=p_k+v_k\Delta t.$$

手算：$m=10\ \mathrm{kg}$、$d=2\ \mathrm{N\,s/m}$、$F_k=6\ \mathrm N$、$v_k=1\ \mathrm{m/s}$、$p_k=0\ \mathrm m$、$\Delta t=0.1\ \mathrm s$。先得阻力二牛顿，再得净力四牛顿，故 $a_k=0.4\ \mathrm{m/s^2}$，下一拍 $v_{k+1}=1.04\ \mathrm{m/s}$、$p_{k+1}=0.1\ \mathrm m$。这里位置用旧速度；若改用新速度，就换了积分算法，不能不加说明地混用。

这是近似而非真实轨迹的精确公式。无推力时，$v_{k+1}=(1-d\Delta t/m)v_k$。要让误差衰减，必须有 $|1-d\Delta t/m|<1$，即 $0<\Delta t<2m/d$（假设 $m,d>0$）。步长过大可能让本来耗能的物体越振越快。更小步长通常减小截断误差，但不消除模型误差和测量噪声。

一阶泰勒近似：用切线预测小变化

对一个在附近足够光滑的函数 $h(x)$，在已知点 $x_0$ 附近取小变化 $\delta x=x-x_0$：

$$h(x_0+\delta x)\approx h(x_0)+h'(x_0)\delta x.$$

$h'$ 是相对输入 $x$ 的导数，不一定是时间导数。“一阶”表示保留变化量的一次项，丢掉二次及更高次项。例：$h(x)=x^2$、$x_0=2$、$\delta x=0.1$，切线预测 $4+4(0.1)=4.4$；精确值为 $2.1^2=4.41$，漏掉的正是 $(0.1)^2=0.01$。变化大时不能假装近似仍准确。

若函数有多个输入，先只改变其中一个、固定其他输入，得到偏导数。把所有偏导数按“输出一行、输入一列”排起来就是雅可比矩阵 $H$：

$$h\!\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\right)=x_1^2+3x_2, \qquad H=\begin{bmatrix}2x_1&3\end{bmatrix}, \qquad \delta h\approx H\begin{bmatrix}\delta x_1\\\delta x_2\end{bmatrix}.$$

这里仅作无量纲数学例子。在 $(x_1,x_2)=(2,1)$，取变化 $(0.1,-0.2)$，有 $\delta h\approx4(0.1)+3(-0.2)=-0.2$。原函数值七，预测新值六点八，精确值六点八一。EKF 正是用这种局部关系处理非线性预测与观测；它不是把非线性系统永久改成直线。

自检：变化率、累积和近似分清了吗？

1. 00-C1：恒加速度 $a=0.5\ \mathrm{m/s^2}$、初速度 $v_0=1\ \mathrm{m/s}$，两秒后速度及位移分别是多少？
2. 00-C2：上面的质量阻尼模型下一拍改为零推力，仍从 $v_k=1\ \mathrm{m/s}$ 起步，求欧拉速度。
3. 00-C3：用切线估计 $3.02^2$，比较精确值。

展开逐步答案

00-C1：$v=v_0+at=2\ \mathrm{m/s}$；位移 $v_0t+at^2/2=3\ \mathrm m$。00-C2：$a_k=(0-2\times1)/10=-0.2\ \mathrm{m/s^2}$，故 $v_{k+1}=1-0.2(0.1)=0.98\ \mathrm{m/s}$。00-C3：取 $x_0=3$、$\delta x=0.02$，得到 $9+6(0.02)=9.12$；精确值 $9.1204$，误差为二次项 $0.0004$。

下一步：方程、矩阵与状态空间。应用入口：动力学与能量、Kalman 滤波。